Теорема Больцано — Коши

Теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке:

Если функция f, значениями которой являются вещественные числа, непрерывна на [a,b] и число C лежит между f(a) и f(b), то существует такая точка x\in [a,b], что f(x) = C.

В частности, если f(a) и f(b) имеют разные знаки, то существует такая точка x\in[a,b] , что f(x) = 0. В этой форме теорему Больцано — Коши используют для выделения промежутков, в которых заведомо имеются нули рассматриваемой функции.

Из теоремы Больцано — Коши следует, что образом промежутка числовой прямой при его непрерывном отображении в числовую прямую является также промежуток. Свойство функции отображать интервал на интервал называют свойством Дарбу, поэтому обсуждаемую теорему можно сформулировать так: непрерывная функция обладает свойством Дарбу.

Обобщения

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на топологические пространства:

Всякая непрерывная функция f:X \to\R, определенная на связном топологическом пространстве X (\R - множество вещественных чисел), принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними

поэтому образ пространства X также промежуток числовой прямой.

История

Теорема Коши была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home