Тензор Вейля

В дифференциальной геометрии, тензор кривизны Вейля, названный в честь Германа Вейля, представляет собой бесследную часть тензора кривизны Римана. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием что построенный с его помощью тензор Риччи должен быть равен нулю.

Тензор Вейля в общем имеет нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырех. В двумерном и трехмерном пространстве тензор кривизны Вейля тождественно равен нулю.

Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определенные комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):

W = R - \frac{1}{n-2}\left(Ric - \frac{s}{n}g\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g

где n - размерность многообразия, g - метрика, R - тензор Римана, Ric - тензор Риччи, s - скалярная кривизна, а h O k - так называемое произведение Кулкарни-Номидзу двух симметричных тензоров валентности (0,2):

(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) = h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)\,
{}-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)\,

В компонентах, тензор Вейля задается выражением:

C_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}

где Rabcd - тензор Римана, Rab - тензор Риччи, R - скалярная кривизна и обозначает операцию антисимметрирования.

Тензор Вейля обладает интересным свойством: он остается инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику \tilde{g}_{ij} = \Omega g_{ij} при помощи некоторой функции Ω, то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: \tilde{C}_{abc}{}^d = {C_{abc}}^d. По этой причине тензор Вейля еще называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю. Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным. Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной эвклидовости является равенство нулю тензора Коттона.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home