Треугольник

Треуго́льник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими (α,β,γ), а длины противоположных сторон — прописными (a, b, c).

Содержание

Неравенство треугольника

Стороны треугольника нельзя задавать произвольно, они связаны следующими неравенствами

  • a ≤ b + c
  • b ≤ a + c
  • c ≤ a + b

В случае выполнения равенства в одном из них треугольник называется вырожденным, далее везде предполагается невырожденный случай.

Признаки равенства треугольников

Треугольник однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

  • a, b, c
  • a, b, γ
  • a, β, γ

Соотношения в треугольнике

Если известны три величины, указанные выше, то остальные можно найти по следующим формулам:

Теорема синусов

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

(Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ)

Теорема косинусов

c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ

(Является обобщением теоремы Пифагора)

Теорема о сумме углов треугольника

α + β + γ = 180° (π)

Ещё соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника \triangle ABC:

  1. {a\over b}={a_L\over b_L} - отношение для отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону,
  2. l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L} - находим биссектрису,
  3. m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2} - находим медиану,
  4. h_c = {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\over c} - находим высоту.

Здесь

\ h_a, h_b, h_c - высоты, опущенные соответственно на стороны \ a, \ b и \ c,
\ a_L,\ b_L отрезки, на которые биссектрира делит противолежащие стороны,
\ r — радиус вписанной окружности,
\ R — радиус описанной окружности,
p=\frac {a+b+c}{2} — полупериметр.

Площадь треугольника

  1. S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b, так как \ h_b = a \sin \gamma, то:
  2. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma
  3. S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr
  4. S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
  5. S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)} — формула Герона.
  6. S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)]

Где:
\ h_b — высота, проведённая на сторону \ b,
p=\frac {a+b+c}{2} — полупериметр,
\ r — радиус вписанной окружности,
\ R — радиус описанной окружности,
\ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C) — координаты вершин треугольника.

Типы треугольников

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны называются боковыми, неравная сторона называется основанием.

Для равнобедренного треугольника справедливо:

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого 3 стороны равны.

Для равностороннего треугольника справедливо:

Прямоугольный треугольник

Основная статья: Прямоугольный треугольник

Прямоугольным называется треугольник, обладающий прямым углом (прямым называется угол в 90°). При этом обе стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

См. также


Многоугольники
Двуугольник | Треугольник | Четырёхугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | Семиугольник | Восьмиугольник | Девятиугольник | Десятиугольник
(См. также: Правильный многоугольник)

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home