Континуанта

Континуантой индекса n называется многочлен K_n(x_1,\dots,x_n), определяемый рекуррентным соотношением

K_{-1}=0,\qquad K_0 = 1
K_n(x_1,\dots,x_n) = x_n K_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1}) + K_{n-2}(x_1,\dots,x_{n-2})

Континуанта может быть также определена через определитель

K_n(x_1,x_2,\dots,x_n)= \det \begin{pmatrix} x_1 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ -1 & x_2 & 1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 &x_n \end{pmatrix}

Свойства

  • Континуанты обладают зеркальной симметрией K_n(x_1,\dots,x_n) = K_n(x_n,\dots,x_1)
  • K_n(1,\dots,1) = F_n, где Fnчисло Фибоначчи.
  • Континуанта K_n(x_1,\dots,x_n) есть сумма всех одночленов, начиная с произведения x_1\cdot\dots\cdot x_n, полученных вычеркиванием всевозможных мономов и непересекающихся пар соседних переменных в этом одночлене.
  • Справедливо тождество
\frac{K_n(x_1,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)} = x_1 + \frac{K_{n-2}(x_3,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)}
  • В поле рациональных дробей
\frac{K_n(x_1,\dots,x_n)}{K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)} = [x_1;x_2,\dots,x_n] = x_1 + \frac{1}{x_2 + \frac{1}{x_3 + \cdots}}цепная дробь.
  • Справедливо матричное соотношение
\begin{bmatrix} K_n(x_1,\dots,x_n) & K_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1}) \\ K_{n-1}(x_2,\dots,x_n) & K_{n-2}(x_2,\dots,x_{n-1}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot\dots\cdot\begin{bmatrix} x_n & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.
Откуда для определителей получается тождество
K_n(x_1,\dots,x_n)\cdot K_{n-2}(x_2,\dots,x_{n-1}) - K_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})\cdot K_{n-2}(x_2,\dots,x_{n-1}) = (-1)^n.
А также
K_{n-1}(x_2,\dots,x_n)\cdot K_{n+2}(x_1,\dots,x_{n+2}) - K_n(x_1,\dots,x_n)\cdot K_{n+1}(x_2,\dots,x_{n+2}) = (-1)^{n+1} x_{n+2}.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home