Частная производная

Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.

Частная производная первого порядка функции многих переменных — производная функция по одной из переменных при условии, что все остальные переменные фиксированы. Например, если функция f(x_1, x_2, \dots, x_n) определена в некоторой окрестности точки (x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)}), то частная производная \frac{\partial f}{\partial x_1} ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)} ) функции f по переменной x1 в рассматриваемой точке равна обычной производной \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)} ) в точке x_1^{(0)} функции f ( x_1, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)}) одной переменной x1. Иначе говоря,

\frac{\partial f}{\partial x_1} ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1} ( x_1, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)} ) \left . \right| _{ x_1 = x_1^{(0)} } =
= \lim_{\Delta x_1 \to 0}{\frac{\Delta x_1 f ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)} ) }{\Delta x_1}},

где

\Delta_{x_1} f ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)} ) = f ( x_1^{(0)} + \Delta x_1, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)} ) - f ( x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \dots, x_n^{(0)} ).

Частная производная

\frac{\partial m_f}{\partial x_1^{m_1} \dots \partial x_n^{m_n}}, m_1+\dots+m_n=m (*),

порядков m > 1 определяются по индукции: если определена частная производная

\frac{\partial^{k-1} f}{\partial x_1^{k_1} \dots \partial x_i^{k_i} \dots \partial x_n^{k_n}}, k_1 + \dots + k_i + \dots + k_n = k-1\dots,

то, по определению,

\frac{\partial^k f}{\partial x_1^{k_1} \dots \partial x_i^{k_{i+1}} \dots \partial x_n^{k_n}} = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial^{k-1} f }{ \partial x_1^{k_1} \dots \partial x_i^{k_i} \dots \partial x_n^{k_n} } \right).

Частная производная (*) обозначается также D_{m_1}^m, \dots, m_n^f. Частная производная (*) у которой, по крайней мере, два различных показателя mi не равны нулю, называется смешанной частной производной, в противном случае, т. е. когда Частная производная имеет вид \frac{\partial m_f}{\partial x_i^m}, — несмешанной. При достаточно широких предположениях смешанные Частные производные не зависят от порядка дифференцирования по различным переменным. Это имеет место, например, если все рассматриваемые частные производные непрерывны.

Если при определении частной производной положить в основу понятие не обычной, а обобщенной в том или ином смысле производной, то получают определение обобщённой частной производной.

Материал взят из Математической энциклопедии.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home