Формула Кардано

Формула Кардано — формула для отыскания корней кубического уравнения над полем комплексных чисел

x3 + px + q = 0

К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение. Формула Кардано имеет вид:

x=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}+\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}}

где

Δ = − 27q2 − 4p3

есть дискриминант многочлена x3 + px + q. Применяя эту формулу, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

\alpha=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{-\frac\Delta{108}}}

брать то значение корня

\beta=\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{-\frac\Delta{108}}},

для которого выполняется условие αβ = − p / 3 (такое значение корня β всегда существует).

Вывод формулы

Формулу можно получить, если предположить что значение корня представляется в виде суммы двух некторых величин x = α + β, тогда, раскрывая скобки, получаем:

α3 + β3 + (3αβ + p)(α + β) + q = 0

Основная идея — приравнять нулю выражение 3αβ + p. Тогда мы приходми к системе

\left\{\begin{matrix}3\alpha\beta+p=0 \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.

которая равносильна системе

\left\{\begin{matrix}\alpha^3\beta^3=-{p^3\over 27} \\ \alpha^3 + \beta^3=-q\end{matrix}\right.

Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней α3 и β3 квадратного уравнения.

История

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home