Преобразование Радона

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года[1].

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Содержание

Двумерное преобразование Радона

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть f(x,y) функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции f(x,y) называется функция

R(s,\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\alpha-z\sin\alpha,s\sin\alpha+z\cos\alpha)dz (1)

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору \vec{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha) и проходящей на расстоянии s (измеренного вдоль вектора \vec{n}, с соответствующим знаком) от начала координат.

Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращения

Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции f(x,y)

F(k_x,k_y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx \int\limits_{-\infty}^{\infty}dy e^{-i (k_x x + k_y y)}f(x,y). (*)

Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой перпендикулярной вектору \vec{k}=(k_x,k_y), и изменяется наиболее быстро если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим \vec{k}=(k_x,k_y)=\omega(\cos\alpha,\sin\alpha), мы выберем новые переменные s = xcosα + ysinα, z = − xsinα + ycosα. Сделав замену переменных в интеграле, получаем

F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} ds e^{-i\omega s} \int\limits_{-\infty}^{\infty} dz f(s\cos\alpha-z\sin\alpha, s\sin\alpha+z\cos\alpha)

т.е.

F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} ds e^{-i\omega s} R(s,\alpha)

Таким образом, одномерное преобразование Фурье по переменной s от преобразования Радона функции f даёт нам двумерное преобразование Фурье от функции f. Поскольку двумерное преобразование Фурье достаточно хорошей функции обратимо, то обратимо и преобразование Радона.

Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом

f(x,y)=\int \frac{dk_x dk_y}{(2\pi)^2}e^{i \vec{k}\vec{x}} F(k_x,k_y).

Для наших целей удобно переписать эту формулу в полярных координатах

f(x,y)=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\omega d\omega}{(2\pi)^2}\int\limits_0^{2\pi}d\alpha e^{i \omega(x\cos\alpha+y\sin\alpha)}F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha),

что немедленно даёт формулу обращения преобразования Радона

f(x,y)=\int\limits_0^{2\pi}d\alpha\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\omega d\omega}{(2\pi)^2} e^{i \omega(x\cos\alpha+y\sin\alpha)}\tilde{R}(\omega,\alpha),

где \tilde{R}(\omega,\alpha)=\int ds e^{-i\omega s}R(s,\alpha).

Применение преобразования Радона

В компьютерной томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна \exp\left\{-\int\limits_{AA'}dz\rho(x,y) \right\}, где ρ(x,y) оптическая плотность объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой AA' проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от оптической плотности. Вращая всю систему из источника излучения и детекторов вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показаной на рисунке, получают достаточно полную информацию о преобразовании Радона оптической плотности в данном срезе объекта. Используя обратное преобразование Радона можно восстановить поглощение излучения в любой точке данной плоскости объекта.

Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных

Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:

R(s,\vec{n})=\int \delta(\vec{n} \vec{r}-s)f(\vec{r})d\vec{r} (2)

Здесь мы обозначили \vec{r}=(x,y) — радиус-вектор из начала координат,d\vec{r}=dx dy — двумерный элемент объёма, \vec{n} — единичный вектор, который можно параметризовать как \vec{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha). С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) тривиально обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под \vec{r}, dV и \vec{n} понимать соответственно N-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в N-мерном пространстве и N-мерный единичный вектор. В принципе, вектор \vec{n} можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация \vec{n}=(\sin\theta\cos\alpha,\sin\theta\sin\alpha,\cos\theta).

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости перпендикулярной вектору \vec{n} и проходящей на расстоянии s от начала координат (взятом со знаком минус если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором \vec{n}).

Обращение многомерного преобразования Радона

В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Покажем это.

Рассмотрим преобразование Фурье от R(s,\vec{n}) по переменной s, то есть

\int R(s,\vec{n})e^{-is\omega}ds.

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим

\int R(s,\vec{n})e^{-is\omega}ds=\int f(\vec{r})e^{-i\vec{r}\vec{n}\omega}d\vec{r}.

Заметим теперь, что \int\limits_{0}^{\infty}\omega^{N-1} d\omega\int d\vec{n} есть интеграл по всему N-мерному пространству (здесь под интегралом \int d\vec{n} подразумевается интеграл по N-1 мерной сфере, в частности, для N=2 \int d\vec{n}=\int\limits d\alpha, для N=3 \int d\vec{n}=\int\limits d\phi\cos\theta d\theta). Из этого следует, что

\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\omega^{N-1}d\omega}{(2\pi)^N}\int d\vec{n} e^{i(\vec{r}'-\vec{r})\omega\vec{n}}=\delta(\vec{r}-\vec{r}').

Используя это представление векторной дельта-функции получаем формулу обращения

f(\vec{r}')=\int d\vec{n}\int\limits_0^{\infty}\frac{\omega^{N-1}d\omega}{(2\pi)^N}e^{i\vec{r}'\vec{n}\omega}\int ds e^{-is \omega}R(s,\vec{n}).

Примечания

  1. J. Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften, Bande 29, s. 262-277, Leipzig, 1917.

Ссылки

  • И.С.Грузман Математические задачи компьютерной томографии. Соросовский образовательный журнал No. 5, 2001 pdf txt
  • Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications. New York: John Wiley & Sons, 1983.
  • Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001 ISBN 0-89871-493-1
  • Natterer, Frank and Frank Wubbeling, Mathematical Methods in Image Reconstruction. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001 ISBN 0-89871-472-9


Статья является кандидатом в хорошие статьи с 2006-10-16. Возможно, требуется доработка статьи.


Интегральные преобразования
Преобразование Абеля | Преобразования Бесселя | Преобразование Бушмана | Преобразование Ганкеля | Преобразование Гильберта | Преобразование Конторовича—Лебедева | Преобразование Лапласа | Преобразование Мейера | Преобразование Мелера-Фока | Преобразование Меллина | Преобразование Нерейна | Преобразование Радона | Преобразование Стильтьеса | Преобразование Фурье | Преобразование Хартли
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home