Накрытие

Отображение p:T\to X линейно связного пространства T на линейно связное пространство X называется накрытием, если у любой точки x\in X имеется окрестность U\subset X, для существует гомеоморфизм h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma, где Γ — дискретное пространство, такое что если \pi:U\times \Gamma\to U обозначает проекцию то

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h.

Примеры

  • p: {\mathbb R}\to S^1,   p:x\mapsto e^{2\pi i x}, где S1 обозначает окружность \{z\in {\mathbb C||z|=1}\}.
  • p:S^1\to S^1,   p:z\mapsto z^k, где k\neq 0, k \in {\mathbb Z}.

Элементарные свойства

  • Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
  • Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать каклокально тривиальные расслоения с дискретным слоем.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности X и Y и также локальной связности и локальной односвязности Y. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами π1(X,x0) и π1(Y,y0): если p(x0) = y0, то индуцированный гомоморфизм p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y, y_0), отображает π1(X,x0) изоморфно на подгруппу в π1(Y,y0) и, меняя точку x0 в p − 1(y0), можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряженных подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы H (т. е. Hнормальный делитель), то накрытие назывется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы G = π1(Y,y0) / H на X, причем p оказывается факторотображением на пространство орбит Y. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле q:[0,1] \to Y, q(0) = q(1) = y0, сопоставить единственный путь \tilde q: [0,1]\to X, для которого q(0) = x0 и p\tilde q=q, то точка \tilde q(1) будет зависеть только от класса этой петли в G и от точки x0. Таким образом, элементу из G отвечает перестановка точек в p − 1(y0). Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки y0. Это определяет гомеоморфизм X комутирующий с p.

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в p − 1(y0), то есть имеется действие π1(Y,y0) на p − 1(y0), назывемый монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого G = π1(Y,y0) или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе H\subset \pi_1(Y, y_0) однозначно строится накрытие p:X\to Y, для которого образ π1(X,x0) есть H.

Для любого отображения f линейно связного пространства (Z,z0) в (Y,y0) поднятие его до отображения \tilde f: (Z, z_0)\to (X,x_0) существует тогда и только тогда, когда образ f1(Z,z0)) лежит в H. Между накрытиями Y имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в π1(Y,y0). В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home