Троичная логика

Содержание

Определение

Троичная логика (трёхзначная логика) — один из видов многозначной логики, использующий три истинностных значения:

 1 — истина
 0 — неизвестно
 \bar 1 — ложь

Если не использовать значение «неизвестно», троичная логика сводится к обычной двоичной логике.

Примером представления чисел в троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

десятичное число……………0, 1, 2, 3, 4, 5, 1\mathbf{0}

троичное число………………0, 1, 1\bar1, 10, 11, 1\bar1\bar1, 101

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз ( разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза ( разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т.д. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой \bar1 (минус единица) в разряде единиц.

Перевод в другие системы счисления

Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, -1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причем если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра -1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой

\cdots + K_3\cdot3^3 + K_2\cdot3^2+ K_1\cdot3^1+ K_0\cdot3^0+ K_{-1}\cdot3^{-1}+ K_{-2}\cdot3^{-2}+ K_{-3}\cdot3^{-3} + \cdots

,где

\cdots + K_3\cdot3^3 + K_2\cdot3^2+ K_1\cdot3^1+ K_0\cdot3^0

целая часть числа,а

K_{-1}\cdot3^{-1}+ K_{-2}\cdot3^{-2}+ K_{-3}\cdot3^{-3} + \cdots

дробная часть числа, причем коэффициенты K могут принимать значения 1, 0, -1. Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.

Свойства троичной логики

Благодаря тому что основание 3 нечетно , в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: -1, 0, 1, с которым связано два ценных свойства: естественность представления отрицательных чисел и отсутствие проблемы округления.

Представление отрицательных чисел

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с относительными числами. Все действия над числами, представленными в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, -1, выполняются естественно с учетом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательно, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (т.е. инвертировать его код).

Например

10\bar1 = 8

\bar101 = -8

Округление

Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.

Арифмитические операции

Логическое умножение

В роли связки и употребляется знак конъюнкции (совместности) ∧ , который, подобно знаку умножения в числовой алгебре, обычно умалчивают (опускают) - вместо x ∧ y пишут xy. Нередко конъюнкцию называют логическим умножением, хотя как раз умножения в ней нет - в отличие от умножения x * x \equiv x2 она идемпотентна: x ∧ x \equiv x. Впрочем, следуя Булю, можно рассматривать ее как умножение чисел, допускающих только два значения: 1 - “дано”, 0 - “исключено”.

Вычисляется min(x, y):

1-й сомножитель 0 1 0 \bar1 0 1 \bar1 1 \bar1
2-й сомножитель 0 0 1 0 \bar1 \bar1 1 1 \bar1
Произведение 0 0 0 0 0 \bar1 \bar1 1 1

Логическое сложение

Знак ∨ символизирует дизъюнкцию - взаимосвязь, двойственную конъюнкции, в русском языке представленную союзом или. Двойственность понимается в том смысле, что произвольное выражение булевой алгебры, если в нем заменить конъюнкции дизъюнкциями, а дизъюнкции конъюнкциями, будет представлять ту же взаимосвязь при условии, что значение 1 истолковывается как 0, а значение 0 - как 1. Так, xy = 1 означает совмещение двух: x = 1 и y = 1, а x ∨ y = 0 соответственно x = 0 и y = 0, т.е. конъюнкция отображает совместность единиц, а дизъюнкция - совместность нулей. С другой стороны, при x ∨y =1 термины x, y несоисключимы, не могут вместе принять значение 0, а при xy = 0 они несовместимы, исключена совместность 1

Вычисляется max(x, y):

1-е слогаемое 0 1 0 \bar1 0 1 \bar1 1 \bar1
2-е слогаемое 0 0 1 0 \bar1 \bar1 1 1 \bar1
Сумма 0 1 1 \bar1 \bar1 0 0 \bar1 1
Перенос 0 0 0 0 0 0 0 1 \bar1

Логическое отрицание

Вычисляется −x:

¬(0)  =  0
¬(+1) = -1
¬(-1) = +1

Импликация

Вычисляется max(−x, y):

 0 →  0 =  0
 0 → +1 = +1
 0 → -1 =  0
+1 →  0 =  0
+1 → +1 = +1
+1 → -1 = -1
-1 →  0 = +1
-1 → +1 = +1
-1 → -1 = +1

Применение троичной логики

Представление команд троичным кодом при программировании и при вводе в машину неудобно и неэкономно, поэтому вне машины применяется девятеричная форма представления команд. Девятеричные цифры \bar4, \bar3, \bar2, \bar1, 0, 1, 2, 3, 4 сопоставляются парам троичных цифр:

\bar1\bar1 = \bar4;\quad\bar10 = \bar3;\quad\bar11 = \bar2;\quad0\bar1 = \bar1;\quad\mathbf{0}\mathbf{0} = \mathbf{0};

\mathbf{1}\mathbf{1} = \mathbf{4};\quad\mathbf{1}\mathbf{0} = \mathbf{3};\quad01\bar1 = 2;\quad\mathbf{0}\mathbf{1} = \mathbf{1}.

При выводе из машины отрицательные девятеричные цифры обозначают буквами:

девятеричная цифра \bar1 \bar2 \bar3 \bar4
буква латинского алфавита Z Y X W
буква русского алфавита Ц У Х Ж

См. также

Ссылки

Литература

Н.П. Брусенцов, С.П. Маслов, В.П. Розин, А.М. Тишулина "Малая цифровая вычислительная машина Сетунь" Издательство Московского университета 1965

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home