Выборочная функция распределения

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Определение

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldots - выборка из распределения, задаваемого функцией распределения F(x). Будем считать, что X_i,\; i\in \mathbb{N} - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов Ω. Пусть x \in \mathbb{R}. Определим случайную величину \hat{F}(x):\Omega \to \mathbb{R} следующим образом:

\hat{F}(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \le x\}},

где \mathbf{1}_A - индикатор события A. Таким образом выборочная функция распределения в точке x равна количеству элементов выборки, не превосходящих значение x. Случайная величина \hat{F}(x) называется выборочной функцией распределения выборки X_1,\ldots,X_n.

Основные свойства

p(x_i) = N_{x_i}, \; i = 1,\ldots, n,

где xi = Xi(ω), а N_{x} = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{x = x_j\}} - количество элементов выборки, равных x. В частности, если все элементы выборки различны, то N_{x_i} = 1,\; \forall i.

\sum\limits_{i=1}^n x_i N_{x_i} = \bar{X}(\omega).

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

n \hat{F}(x) \sim \mathrm{Bin}(n,F(x)).
\mathbb{E}\left[\hat{F}(x)\right] = F(x).
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
\mathrm{D}\left[\hat{F}(x)\right] = \frac{F(x)(1-F(x))}{n}.
\hat{F}(x) \to F(x) почти наверное при n \to \infty.
\sqrt{n}\left(\hat{F}(x) - F(x)\right) \to \mathrm{N}\left(0,F(x)(1-F(x))\right) по распределению при n \to \infty.

См.также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home