Бесконечно делимое распределение

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Содержание

Определение

Случайная величина Y называется бесконечно делимой, если для любого n \in \mathbb{N} она может быть представлена в виде

Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i,

где \left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n - независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

\phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}(t)}.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Формула Колмогорова

Пусть φ(t) - характеристическая функция бесконечно делимого распределения на \mathbb{R}. Тогда существует неубывающая функция K:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, такая что \lim\limits_{u \to -\infty} K(u) = 0, и

\ln \phi(t) = i\delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{it u} - 1 - i u t}{u^2} \, dK(u),

где интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

Пусть φ(t) - характеристическая функция бесконечно делимого распределения на \mathbb{R}. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, такая что

\ln \phi(t) = i \delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu} - 1 - \frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)

Примеры

m(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}

для некоторого λ > 0. Тогда случайная величина X:\mathbb{N} \to \mathbb{R}, имеющая вид

X(n) = n,\quad n \in \mathbb{N}

не является бесконечно делимой.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home