Многомерное нормальное распределение

Многоме́рное норма́льное распределе́ние (или многоме́рное га́уссовское распределе́ние) в теории вероятностей - это обобщение одномерного нормального распределения.

Определения

Случайный вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top}: \Omega \to \mathbb{R}^n имеет многомерное нормальное распределение, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

\mathbf{X} = \mathbf{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}.
  • Существует вектор \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n и неотрицательно определённая симметричная матрица \mathbf{\Sigma} размерности n \times n, такие что плотность вероятности вектора \mathbf{X} имеет вид:
f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi )^{n/2} \vert \Sigma \vert^{1/2}} e^{-\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{\mu})^{\top} \Sigma^{-1} (\mathbf{x} - \mathbf{\mu})},\; \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n,

где \vert \Sigma\vert - определитель матрицы Σ, а Σ − 1 - матрица обратная к Σ.

  • Существует вектор \mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^n и неотрицательно определённая симметричная матрица \mathbf{\Sigma} размерности n \times n, такие что характеристическая функция вектора \mathbf{X} имеет вид:
\phi_{\mathbf{X}}(\mathbf{u}) = e^{i \mathbf{\mu}^{\top} \mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathbf{u}^{\top} \Sigma \mathbf{u}},\; \mathbf{u} \in \mathbb{R}^n.

Замечания

  • Если одно из приведённых выше определений принято в качестве основного, то другие выводятся в качестве теорем.
  • Вектор \mathbf{\mu} является вектором средних значений \mathbf{X}, а Σ - его ковариационная матрица.
  • В случае n = 1, многомерное нормальное распределение сводится к обычному нормальному распределению.
  • Если случайный вектор \mathbf{X} имеет многомерное нормальное распределение, то пишут \mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma).

Свойства многомерного нормального распределения

  • Если вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} имеет многомерное нормальное распределение, то его компоненты X_i, i=1,\ldots, n, имеют одномерное нормальное распределение. Обратное, вообще говоря, неверно!
  • Если случайные величины X_1,\ldots,X_n имеют одномерное нормальное распределение и совместно независимы, то случайный вектор \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} имеет многомерное нормальное распределение. Матрица ковариаций Σ такого вектора диагональна.
  • Если \mathbf{X} = (X_1,\ldots, X_n)^{\top} имеет многомерное нормальное распределение, и его компоненты попарно некоррелированы, то они независимы. Однако, если только компоненты X_i,\; i = 1 , \ldots, n имеют одномерное нормальное распределение и попарно не коррелируют, то отсюда не следует, что они независимы.
Контрпример. Пусть X˜N(0,1), а \alpha = \pm 1 с равными вероятностями. Тогда Y = αX˜N(0,1), и корреляция X и Y равна нулю. Однако, эти случайные величины зависимы.
  • Многомерное нормальное распределение устойчиво относительно линейных преобразований. Если \mathbf{X} \sim \mathrm{N}(\mathbf{\mu},\Sigma), а \mathbf{A} - произвольная матрица размерности m \times n, то
\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \mathrm{N}\left(\mathbf{A}\mathbf{\mu},\mathbf{A}\Sigma \mathbf{A}^{\top}\right).
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home