Мера

Ме́ра — общее название различных типов обобщений понятий Евклидовой длины, площади и n-мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается, счётно-аддитивная мера.

Содержание

Определения

Конечно-аддитивная мера

Пусть задано пространство X с выделенным классом подмножеств \mathcal{F}, замкнутым относительно конечных пересечений и объединений. Функция \mu:\mathcal{F} \to [0,\infty] называется конечно-аддитивной мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \mu(\varnothing) = 0;
  2. Если \{E_n\}_{n=1}^{N}\subset\mathcal{F} - конечное семейство попарно непересекающихся множеств из \mathcal{F}, т.е. E_i \cap E_j= \varnothing,\; i\not= j, то

\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{N}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{N}\mu(E_n).

Альтернативное определение

Система множеств σ называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к σ множеств A и A_1\subset A вытекает возможность представления множества A в виде объединения A=\bigcup_{k=1}^n A_k, где Ak - попарно непересекающиеся множества из σ, первое из которых есть заданное множество A1.

Функция множества μ(A) называется мерой, если:

  • область определения σμ функции μ(A) есть полукольцо множеств.
  • значения \mu(A)\geq 0
  • μ(A) - аддитивна, т.е. для любого конечного разложения A=A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n, A_i\cap A_j = \varnothing

будет выполнено \mu(A)=\sum_{k=1}^n \mu(A_k)

Счётно-аддитивная мера

Пусть задано пространство X с выделенной σ-алгеброй \mathcal{F}. Функция \mu:\mathcal{F} \to [0,\infty] называется счётно-аддитивной (или σ-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. \mu(\varnothing) = 0;
  2. (σ-аддитивность) Если \{E_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathcal{F} - счётное семейство попарно непересекающихся множеств из \mathcal{F}, т.е. E_i \cap E_j =\varnothing,\; i\not= j, то
\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(E_n).

Замечания

  • Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
  • Если мера всего пространства конечна, т.е. \mu(X) < \infty, то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.
  • На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с σ-алгебры, порождаемой открытыми множествами, на множество всех подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры. Ни для одного из нетривиальных евклидовых пространств не существует какого-либо счётно-аддитивного расширения лебеговой меры на множество всех его подмножеств.

Примеры

Вариации и обобщения

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home