Словарь терминов теории групп

Для общего описания теории групп, смотри группа (математика) и теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь.

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я


p-группа — группа все элементы в которой имеет порядок равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

А

Абелева группа. см. коммутативная группа

Г

Группа

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера-Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Главный ряд подгруппряд подгрупп, в котором Gi — максимальная нормальная в G подгруппа из Gi + 1, для всех членов ряда.

Гомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

f(a * b) = f(a) × f(b)

для произвольных a и b в G.

Д

Действие группы

Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.

Е

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе H - это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу a группы смежный класс aH. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H.

И

Изоморфизм группбиективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в Gмощность (т.е. количество) правых (или левых) классов смежности. Обычно обозначается [G : H]. Для конечных группы G, индекс её подгруппы равен отношению порядков [G : H] = |G |/|H|.

Индексы ряда подгрупп — индексы | Gi + 1:Gi | в определении субнормального ряда подгрупп.

К

Класс смежности/смежный класс (правый или левый) подгруппы H в G. Правый класс смежности элемента g \in G по подгруппе H в G есть множество

gH= \{gh|h\in H\}.

Аналогично определяется левый класс смежности:

Hg= \{hg|h\in H\}.

Класс сопряжённости элемента g \in G есть множество

\{hgh^{-1}|h\in G\}.

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или G'.

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g \forall g, h \in G.

Коммутатор элементов g и h есть элемент [g,h] = g − 1h − 1gh.

Коммутатор подгрупп

Конечная p-группаp-группа конечного порядка pn.

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

Л

Локальное свойство группы G. Говорят, что группа G обладает локальным свойством P, если любая конечно порождённая подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им. Локальная теорема справедлива, например, в классе абелевых групп, но не справедлива в классе конечных групп.

М

Метабелева группа - группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (т. е. не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Н

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если \forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H.

Нормальный ряд подгрупп - ряд подгрупп, в котором Gi нормальна в G, для всех членов ряда.

О

Образующая

П

Перестановочные элементы — пара элементов a,b\in G такие что ab = ba.

Период группынаименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, <S> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Подгруппа Томпсона J(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из G.

Подгруппа Фиттинга F(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из G.

Подгруппа Фраттини Φ(G) группы G — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы G, если таковые существуют, и сама группа G в противном случае.

Полинильпотентная группа

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом \phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H) (обозначается по разному, в том числе Gφ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой (g1,h1) * (g2,h2) = (g1φ(h1)(g2),h1h2) для любых g_1,g_2 \in G, h_1,h_2 \in H.

Порядок группы (G,*) — мощность G (т.е. число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что gm = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной {e} и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1h2).

Р

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал S(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из G.

Ряд подгрупп. Конечная последовательность подгрупп, G0,G1,...,Gn называется рядом подгрупп, если G_i \leq G_{i+1}, для всех i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G. Такой ряд записывают в виде

1=G_0\leq G_1\leq ... \leq G_n=G

или в виде

G=G_n\geq G_{n-1}\geq ... \geq G_0=1

С

Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа. Свободной группой, порождённой множеством A, называется группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Свободное произведение

Силовская подгруппа - p-подгруппа в G, имеющая порядок pn, где | G | = pns, НОД(p,s) = 1.

Соотношение -- тождество, которому удовлетворяют все образующие группы(при задании группы образующими и соотношениями).

Стабилизатор элемента p множества M, на котором действует группа G - подгруппа St_G(p) \subset G, все элементы которой оставляют p на месте: g\cdot p = p.

Субнормальный ряд подгрупп - ряд подгрупп, в котором подгруппа Gi нормальна в подгруппе Gi + 1, для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

(aH) * (bH) = (ab)H.

Факторы субнормального рядафактор-группы Gi + 1 / Gi в определении субнормального ряда подгрупп.

Х

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g \in G | gh = hg для любого h \in G},

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

Центральный ряд подгруппнормальный ряд подгрупп, в котором G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i}), для всех членов ряда.

Циклическая группа - группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Ш

Э

Экспонента exp(G) конечной группы G — числовая характеристика группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы G.

Я

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home