Ковариантная производная

В математике, ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных на многообразиях. Ковариантную производную можно также определить как специальный способ задания связности на многообразии при помощи дифференциального оператора. Другой способ задания связности — через форму связности, здесть не рассматривается.

Содержание

Формальное определение

Ковариантная производная \nabla_c - это оператор, который отображает дифференцируемые тензорные поля типа (p,q) в множество тензорных полей типа (p,q+1) и обладает следующими свойствами (A,B - произвольные тензорные поля типа (p,q), α и β - произвольные вещественные числа):

  1. Линейность: \nabla_c(\alpha\mathit{A} + \beta\mathit{B}) = \alpha\nabla_c(\mathit{A}) + \beta\nabla_c(\mathit{B}).
  2. Правило Лейбница: \nabla_c(\mathit{A} \otimes \mathit{B}) = \nabla_c(\mathit{A})\otimes\mathit{B} + \mathit{A}\otimes\nabla_c(\mathit{B}).
  3. Коммутативность относительно свертки по двум индексам: \nabla_c ({A^{a_1...c...a_p}}_{b_1...c...b_q}) = \nabla_c {A^{a_1...c...a_p}}_{b_1...c...b_q}.
  4. Согласованность с определением касательных векторов как операторов производных по направлению, действующих в пространстве скалярных функций: для любой скалярной функции f и вектора ta: t(f) = t^a \nabla_a f.
  5. Отсутствие кручения: для любой функции f, \nabla_a \nabla_b f = \nabla_b \nabla_a f.

Пятое условие иногда опускается, в этом случае многообразие оказывается многообразием с кручением. В общей теории относительности оператор ковариантной производной не имеет кручения. В общем случае для тензоров ковариантные произвольные не коммутируют. Степень некоммутативности ковариантных производных тензорных полей выражается через тензор кривизны многообразия.

Ковариантная производная по направлению

Ковариантную производную можно еще определить как оператор {\nabla}_\mathbf{v} (зависящий от векторного поля \mathbf{v}), который сопоставляет каждому дифференцируемому тензорному полю тензорное поле того же типа, и подчиняется определенным требованиям, обобщающим свойства обычной производной по направлению. n ковариантных производных от тензорного поля типа (p,q) по направлениям координат преобразуются как тензор типа (p,q+1) и определяют полную ковариантную производную \nabla_c.

Функции

Для скалярной функции f ковариантная производная {\nabla}_{\mathbf{v}} f совпадает с обычной производной действительной функции по направлению векторного поля \mathbf{v} и обозначается \partial_{\mathbf{v}} f.

Векторные поля

Ковариантная производная \nabla векторного поля {\mathbf u} по направлению векторного поля {\mathbf v}, обознаяаемая \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} определяется по следующим свойствам, для любого вектора v, векторных полей u, w и скалярных функций f и g:

  1. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} линейно по отношению к {\mathbf v}, т.е. \nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}
  2. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} аддитивно относительно {\mathbf u}, т.е. \nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}
  3. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} подчиняется правилу Лейбница, т.е. \nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f где \nabla_{\mathbf v}f определено выше.

Заметим, что \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} в точке p зависит не только от значения v в точке p, но и от значений u в ее окрестности благодаря последнему свойству, правилу Лейбница. Это означает, что ковариантная производная не является тензором.

Ко-векторные поля

Если задано поле ко-векторов (или 1-форм) α, его ковариантная производная \nabla_{\mathbf v}\alpha может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей u

\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля v - тоже ковекторное поле.

Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница (\varphi и ψ - произвольные тензоры):

\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),

Если \varphi и ψ - тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.

См. также

Ковариантное дифференцирование

Тензор кривизны

Связность Леви-Чивита

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home