Геометрическое распределение

Геометрическое распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры n \geq 0 - число «неудач» до первого «успеха»
0\leq p \leq 1 - вероятность «успеха»
q \equiv 1-p - вероятность «неудачи»
Носитель k \in \{0,1,2,\dots\}\!
Функция вероятности q^n p\!
Функция распределения 1-q^n\!
Математическое ожидание \frac{q}{p}
Медиана N/A
Мода 0
Дисперсия \frac{q}{p^2}
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов \frac{p}{1-qe^t}
Характеристическая функция

Геометрическое распределение в теории вероятностей — это распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Содержание

Определение

Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.

Построим случайную величину Y = \min \left\{ i \mid X_i = 1 \right\} - 1 — количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины Y называется геометрическим с вероятностью «успеха» p. Пишем: Y \sim \mathrm{Geom}(p). Функция вероятности случайной величины Y имеет вид:

\mathbb{P}(Y = n) = q^n p,\; n=0,1,2,\ldots

Замечание

  • Иногда полагают по определению, что Y — номер первого «успеха». Тогда функция вероятности принимает форму \mathbb{P}(Y = n) = q^{n-1} p. В этом случае все формулы из таблицы справа должны быть модифицированы очевидным образом.
  • Функция вероятности является геометрической прогрессией, откуда и происходит название распределения.

Моменты

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

M_Y(t) = \frac{p}{1-qe^t},

откуда

\mathbb{E}[Y] = \frac{q}{p},
\mathrm{D}[Y] = \frac{q}{p^2}.

Свойства геометрического распределения

  • Из всех дискретных распределений с фиксированным средним μ > 1 геометрическое распределение Geom(1 / μ) является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.
  • Если Y_1,\ldots, Y_n независимы и Y_i \sim \mathrm{Geom}(p_i),\; i=1,\ldots,n, то
Y = \min\limits_i (Y_i) \sim \mathrm{Geom}\left(1 - \prod\limits_{i=1}^n (1-p_i)\right).

Отсутствие памяти

Если Y\sim \mathrm{Geom}(p), то \mathbb{P}(X > m + n \mid X > m ) = \mathbb{P}(X>n)\;, \forall m,n \in \mathbb{N}\cup \{0\}, то есть количество прошлых «неудач» не влияет на количество будущих «неудач».

Геометрическое распределение — это единственное дискретное распределение со свойством отсутствия памяти.

Связь с другими распределениями

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p).

Пример

Пусть игральная кость вбрасывается до выпадания первой «шестёрки». Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх вбросов равна:

\mathbb{P}(Y \le 2) = \mathbb{P}(Y=0) + \mathbb{P}(Y = 1) + \mathbb{P}(Y=2) = \left(\frac{5}{6}\right)^0 \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^2 \left(\frac{1}{6}\right) \approx 42\%.

Ожидаемое число вбросов равно:

\mathbb{E}[Y] + 1 = \frac{5/6}{1/6} + 1 = 6.

См. также

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home