Интегральное преобразование Абеля

Интегральное преобразование Абеля — преобразование, часто используемое при анализе сферически или цилиндрически симметричных функций. Названо в честь норвежского математика Н. Х. Абеля. Для функции f(r) преобразование Абеля даётся уравнением:

F(y)=2\int_y^\infty \frac{f(r)r\,dr}{\sqrt{r^2-y^2}}.

Если функция f(r) спадает с r быстрее чем 1/r, то можно вычислить обратное преобразование Абеля:

f(r)=-\frac{1}{\pi}\int_r^\infty\frac{d F}{dy}\,\frac{dy}{\sqrt{y^2-r^2}}.

В обработке изображений преобразование Абеля используется для того, чтобы получить проекцию симметричной, оптически тонкой функции испускания на плоскость. Обратное преобразование используется для восстановления функции по её проекции (напр. фотографии).

Геометрическая интерпретация

Преобразование Абеля в двумерном случае F(y) может рассматриваться как проекция осе-симметричной функции f(r) вдоль параллельных линий, проходящих на расстоянии y от оси. Согласно рисунку справа, наблюдатель (I) увидит величину

F(y)=\int_{-\infty}^\infty f(r)\,dx

где f(r) — осе-симметричная функция, изображенная на рисунке при помощи серого цвета. Предполагается, что наблюдатель находится при x = ∞ и т.о. пределы интегрирования равны ±∞. Все линии наблюдения параллельны оси x. Замечая, что радиус r соотносится с x и y как r2 = x2 + y2, получаем, что

dx=\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2-x^2}}.

Так как переменная r при интегрировании не меняет знака, то подынтегральное выражение (как f(r) так и выражение для dx) является чётной функцией. Поэтому можно записать:

\int_{-\infty}^\infty f(r)dx=2\int_0^\infty f(r)\,dx.

Замена переменной x на r даёт формулу преобразования Абеля:

F(y)=2\int_y^\infty \frac{f(r)r\,dr}{\sqrt{r^2-y^2}}.

Преобразование Абеля можно обобщить на случай большего числа измерений. Особенно интересен случай трёх измерений. В случае осе-симметричной функции f(ρ,z), где ρ2 = x2 + y2 является радиусом в цилиндрических координатах, можно спроектировать функцию на плоскость, параллельную оси z. Без потери общности можно взять плоскость, параллельную плоскости yz. При этом:

F(y,z) =\int_{-\infty}^\infty f(\rho,z)\,dx =\int_y^\infty \frac{f(\rho,z)\rho\,d\rho}{\sqrt{\rho^2-y^2}}

что является преобразованием Абеля для f(ρ,z) в переменных ρ и y.

Частным случаем осевой симметрии является сферическая симметрия. В этом случае имеется функция f(r), где r2 = x2 + y2 + z2. Проекция на плоскость yz будет иметь круговую симметрию, которую можно записать как F(s), где s2 = y2 + z2. Производя интегрирование, получим:

F(s) =\int_{-\infty}^\infty f(r)\,dx =\int_s^\infty \frac{f(r)r\,dr}{\sqrt{r^2-s^2}}

что опять является преобразованием Абеля для f(r) в переменных r и s.

Связь с другими преобразованиями

Преобразование Абеля является членом т. н. цикла Фурье-Хенкеля-Абеля. Например для случая двух измерений, если обозначить через A преобразование Абеля, F — преобразование Фурье и через H — преобразование Хенкеля нулевого порядка, то для функций с круговой симметрией будет выполнятся равенство:

FA=H,\,

то есть если применить к одномерной функции сначала преобразование Абеля, а затем преобразование Фурье. то результат будет тот же, как после применения к функции преобразования Хенкеля.

Интегральные преобразования
Преобразование Абеля | Преобразования Бесселя | Преобразование Бушмана | Преобразование Ганкеля | Преобразование Гильберта | Преобразование Конторовича—Лебедева | Преобразование Лапласа | Преобразование Мейера | Преобразование Мелера-Фока | Преобразование Меллина | Преобразование Нерейна | Преобразование Радона | Преобразование Стильтьеса | Преобразование Фурье | Преобразование Хартли
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home