Дискриминант

Дискриминант многочлена p(x) = a0 + a1x + ... + anxn, корни которого равны α12,...,αn, есть произведение

D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2.

Свойства

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые.
  • D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p'), где R(p,p') — результант многочлена p(x) и его производной p'(x).
    • В частности, дискриминант многочлена
p(x) = xn + an−1xn−1 + … + a1x + a0
равен определителю следующей (2n − 1)×(2n − 1)-матрицы:
 1     an−1     an−2      .         .        .    a0       0           .   .   .   0
 0     1        an−1     an−2       .        .    .       a0           0   .   .   0
 0     0        1        an−1     an−2       .    .       .            a0  0   .   0
 .     .        .        .         .        .    .
 .     .        .        .         .        .    .
 0     0        0        0         0        1    an−1    an−2          .   .   .  a0
 n  (n−1)an−1 (n-2)an−2   .         .       1a1   0        0           .   .   .   0
 0     n      (n−1)an−1 (n−2)an−2   .        .   1a1       0           0   .   .   0
 0     0        n       (n−1)an−1 (n−2)an−2  .    .       1a1          0   0   .   0
 .     .        .        .         .        .    .
 .     .        .        .         .        .    .
 0     0        0        0         0        n  (n−1)an−1(n−2)an−2      .   .  1a1  0
 0     0        0        0         0        0    n      (n−1)an−1(n−2)an−2 .   .  1a1

Примеры

  • Дискриминант квадратного трёхчлена ax2 + bx + c равен b2 − 4ac;
  • Дискриминант многочлена a3x3 + a2x2 + a1x + a0 равен
4a_1^3a_3 - a_1^2a_2^2 + 4a_0a_2^3 - 18a_0a_1a_2a_3 + 27a_0^2a_3^2.
  • В частности, дискриминант многочлена x3 + px + q (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен − 27q2 − 4p3.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home