Бином Ньютона

Бином Ньютона — эта формула

(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n-1}b + \dots + {n\choose k}a^{n-k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n,

где {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}биномиальные коэффициенты, n - неотрицательное целое число.

Содержание

Для ненатуральных степеней

{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}}

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:

{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}\,

В частности,

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+....

Этот степенной ряд сходится при |z|\le 1.

История

Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрел Блез Паскаль, описавший ее в XVII веке. Тем не менее, она была известна еще китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, ее открыл персидский ученый, поэт и философ Омар Хайям.

Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном (хотя эта формула входит в школьный курс алгебры).

  • В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».

Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский [1].

См. так же

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home