Первообразная

В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x³ / 3 является первообразной f(x) = x². Так как производная константы равна нулю, x² будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как (x³ / 3) + 0 или (x³ / 3) + 7 или (x³ / 3) − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x² можно обозначить как F(x) = (x³ / 3) + C; где C любое число. Графики таких первообразных представляют собой вертикальные смещения относительно друг друга, положение которых зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).

Это соотношение называется формулой НьютонаЛейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f иногда называют общим интегралом или неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

\int f(x)\, dx

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x sin (1/x) — cos(1/x) с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x² sin(1/x) с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx.

Более развёрнутое изложение этих фактов можно отыскать в дифференциальной теории Галуа.

Свойства первообразной

  • Первообразная суммы равна сумме первообразных
  • Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
  • Достаточным условием для существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f.
  • Необходимыми условиями являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу.
  • У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.


Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого в нашем распоряжении имеется насколько методов:

  • линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
  • интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
  • интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
  • метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям
  • метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
  • алгоритм Риша (Risch algorithm),
  • некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
  • при многоуровневом интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см.двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
  • вычислительные пакеты помогают автоматизировать некоторые или все вышеприведённые символические операции, что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
  • если функция не имеет элементарной первообразной (например, exp(x²)), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной F' и выполнения всюду равенства F'(x) = f(x), иногда в определении используют обобщения производной.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home