Операда

Операда (Клон полилинейных операций) — семейство множеств \{R_n, n\ge 1\} с левым действием симметрических групп S_n\! на соответствующих R_n\! и с операциями композиции:

R_{n_1}\times\dots\times R_{n_m}\times R_m \longrightarrow R_{n_1+\dots n_m}: (r_1, \dots , r_m, r)\to r_1\dots r_mr,

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

(r_{11}r_{21}\dots r_{k_11}r_1)\dots (r_{1m}r_{2m}\dots r_{k_mm}r_m)r=(r_{11}r_{21}\dots r_{k_11}\dots r_{1m}r_{2m}\dots r_{k_mm})(r_1\dots r_mr)

и наличию единицы \epsilon\in R_1: (\epsilon\dots\epsilon)r=r,\quad r\epsilon=r.

Операда называется линейной, если R_n\! являются пространствами, действия симметрических групп S_n\! являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство A\! c полилинейными операциями композиции:

A^{\otimes n}\otimes_{S_n} R_n\longrightarrow A: a_1\otimes\dots\otimes a_n\otimes r\to a_1\dots a_nr

со свойствами унитарности a\epsilon=a\! и обобщённой ассоциативности:

(a_{11}a_{21}\dots a_{k_11}r_1)\dots (a_{1m}a_{2m}\dots a_{k_mm}r_m)r=(a_{11}a_{21}\dots a_{k_11}\dots a_{1m}a_{2m}\dots a_{k_mm})(r_1\dots r_mr)

Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

  • Простейшей операдой является ассоциативное кольцо R\! с 1: R_1=R,\quad R_{>1}=\{0\}. Алгебра над ней — это правый R\!модуль.

История

Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года, немного позднее они были переоткрыты американским топологом Дж. Петером Мэем под именем операд и алгебр над ними. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Петера Мэя (об открытии Мэя).

Литература

  • Артамонов В.А. "Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры"//УМН,— 1969,— Т.24,— № 1,— стр. 47—59
  • May J.P. "The geometry of iterated loop spaces", Lecture Notes in Mathematics, vol. 271,— Berlin: Springer-Verlag, 1972, 175 p.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home